Высшая математика в решениях. Часть 5

В учебном пособии представлены практические занятия по векторному анализу, исчислению матриц и их приложению к решению систем линейных алгебраических уравнений и приведению квадратичной формы к сумме квадратов, а также упражнения по итерационным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений, решение линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка.

Цель — помочь научиться с наименьшей затратой времени самостоятельно решать задачи по этим разделам курса высшей математики.

Весь учебный материал разделен на отдельные практические занятия

Практические задания распределены по следующим темам:

Первое практическое занятие. Численное решение алгебраических уравнений.

Второе практическое занятие. Численное решение алгебраических уравнений (продолжение).

Третье практическое занятие. Решение трансцендентных уравнений.

Четвертое практическое занятие. Основные определения теории матриц.

Пятое практическое занятие. Умножение матриц. Формулы для проверки умножения матриц. Обратная матрица и способы ее получения.

Шестое практическое занятие. Обращение треугольной матрицы. Разложение квадратной матрицы на произведение двух треугольных. Вычисление обратной матрицы при помощи представления ее в виде двух треугольных матриц.

Седьмое практическое занятие. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Численное решение линейных алгебраических

уравнений способом исключения.

Восьмое практическое занятие. Характеристическое уравнение матрицы.

След матрицы. Характеристические числа и собственные векторы матрицы. Нормирование вектора. Скалярное произведение двух векторов. Ортогональные матрицы. Преобразование характеристического уравнения методом Леверье.

Девятое практическое занятие. Преобразование характеристического уравнения методом академика А. Н. Крылова. Теорема Кэли—Гамильтона.

Десятое практическое занятие. Применение матриц к приведению квадратичной формы двух переменных к сумме квадратов (к каноническому виду). Упрощение уравнений кривых второго порядка.

Одиннадцатое практическое занятие. Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент функции.

Двенадцатое практическое занятие. Векторное поле. Потенциальные векторы. Потенциал векторного поля. Циркуляция вектора. Линейный интеграл. Вихрь вектора.

Тринадцатое практическое занятие. Поток векторного поля. Дивергенция вектора. Формула Остроградского.

Четырнадцатое практическое занятие. Свойства дивергенции. Упражнения, связанные с формулами Остроградского и Стокса.

Пятнадцатое практическое занятие. Гармонические функции. Формулы Грина.

Шестнадцатое практическое занятие. Оператор Гамильтона.

Семнадцатое практическое занятие. Криволинейные координаты. Ортогональные криволинейные координаты. Запись в ортогональных криволинейных координатах основных дифференциальных операций теории поля: градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа. Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в цилиндрической и сферической системах координат.

Восемнадцатое практическое занятие. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка.