Boolean simplifier

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Postulado booleano, propriedades e teoremas

O seguinte postulado, propriedades e teoremas são válidos na Álgebra Booleana e são usados ​​na simplificação de expressões lógicas ou funções:

POSTULADOS são verdades evidentes por si mesmas.

1a: $ A = 1 $ (se A ≠ 0) 1b: $ A = 0 $ (se A ≠ 1)

2a: $ 0 ∙ 0 = 0 $ 2b: $ 0 + 0 = 0 $

3a: $ 1 ∙ 1 = 1 $ 3b: $ 1 + 1 = 1 $

4a: $ 1 ∙ 0 = 0 $ 4b: $ 1 + 0 = 1 $

5a: $ \ overline = 0 $ 5b: $ \ overline = 1 $

PROPRIEDADES que são válidas em Álgebra Booleana são semelhantes às da álgebra comum

Comutativo $ A ∙ B = B ∙ A $ $ A + B = B + A $

Associativo $ A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C $ A + (B + C) = (A + B) + C $

Distributiva $ A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C $ A + (B ∙ C) = (A + B) ∙ (A + C) $

OS TEOREMAS que são definidos na Álgebra Booleana são os seguintes:

1a: $ A ∙ 0 = 0 $ 1b: $ A + 0 = A $

2a: $ A ∙ 1 = A $ 2b: $ A + 1 = 1 $

3a: $ A ∙ A = A $ 3b: $ A + A = A $

4a: $ A ∙ \ overline = 0 $ 4b: $ A + \ overline = 1 $

5a: $ \ overline {\ overline } = A $ 5b: $ A = \ overline {\ overline } $

6a: $ \ overline {A ∙ B} = \ overline + \ overline $ 6b: $ \ overline {A + B} = \ overline ∙ \ overline $

Aplicando postulados, propriedades e / ou teoremas booleanos, podemos simplificar expressões booleanas complexas e construir um diagrama de blocos lógicos menor (circuito menos caro).

Por exemplo, para simplificar $ AB (A + C) $, temos:

$ AB (A + C) $ lei distributiva

= $ ABA + ABC $ lei cumulativa

= $ AAB + ABC $ teorema 3a

= $ AB + ABC $ lei distributiva

= $ AB (1 + C) $ teorema 2b

= $ AB1 $ teorema 2a

= $ AB $

Embora o acima seja tudo que você precisa para simplificar uma equação booleana. Você pode usar uma extensão dos teoremas / leis para facilitar a simplificação. O que segue irá reduzir a quantidade de etapas necessárias para simplificar, mas será mais difícil de identificar.

7a: $ A ∙ (A + B) = A $ 7b: $ A + A ∙ B = A $

8a: $ (A + B) ∙ (A + \ overline ) = A $ 8b: $ A ∙ B + A ∙ \ overline = A $

9a: $ (A + \ overline ) ∙ B = A ∙ B $ 9b: $ A ∙ \ overline + B = A + B $

10: $ A⊕B = \ overline ∙ B + A ∙ \ overline $

11: $ A⊙B = \ overline ∙ \ overline + A ∙ B $

⊕ = XOR, ⊙ = XNOR

Agora, usando esses novos teoremas / leis, podemos simplificar a expressão anterior desta forma.

Para simplificar $ AB (A + C) $, temos:

$ AB (A + C) $ lei distributiva

= $ ABA + ABC $ lei cumulativa

= $ AAB + ABC $ teorema 3a

= $ AB + ABC $ teorema 7b