App Markov Chains

El propósito de esta aplicación es proporcionar métodos prácticos para crear la matriz de transición de la cadena de Markov y determinar los vectores de estado x(1), x(2),...,x(n),...

Una cadena de Markov es un proceso estocástico que describe una secuencia de posibles eventos, donde la probabilidad de cada uno depende únicamente del estado alcanzado en el evento anterior. Esta propiedad se conoce como propiedad de Markov o ausencia de memoria. Las cadenas de Markov simplifican el estudio de muchos procesos del mundo real al centrarse en el estado actual y las probabilidades de transición, lo que las convierte en una herramienta poderosa en diversas disciplinas científicas y de ingeniería.

Supongamos que un sistema físico o matemático experimenta un proceso de cambio tal que en cualquier momento puede ocupar uno de un número finito de estados.

Supongamos que dicho sistema cambia con el tiempo de un estado a otro y que, en momentos programados, se observa el estado del sistema. Si el estado del sistema en cualquier observación no puede predecirse con certeza, pero la probabilidad de que ocurra un estado dado puede predecirse simplemente conociendo el estado del sistema en la observación anterior, entonces el proceso de cambio se denomina cadena de Markov o proceso de Markov.

Si una cadena de Markov tiene k estados posibles, que etiquetamos como 1, 2,..., k, entonces la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado i en cualquier observación después de estar en el estado j en la observación anterior se denota por p(i,j) y se denomina probabilidad de transición del estado j al estado i. La matriz P=[p(i,j)] se denomina matriz de transición de la cadena de Markov.

El vector de estado para una observación de una cadena de Markov con k estados es un vector columna x, cuyo i-ésimo componente x(i) es la probabilidad de que el sistema se encuentre en el i-ésimo estado en ese momento. Observe que las entradas en cualquier vector de estado de una cadena de Markov son no negativas y su suma es 1. Supongamos ahora que conocemos el vector de estado x(0) de una cadena de Markov en una observación inicial. La siguiente declaración nos permitirá determinar los vectores de estado x(1), x(2),...,x(n),... en las observaciones subsiguientes. Si P es la matriz de transición de una cadena de Markov y x(n) es el vector de estado en la n-ésima observación, entonces x(n+1) = P*x(n).

Desde la actividad de inicio del Anexo, se lanza la función para crear una nueva matriz transaccional (botón "Nuevo"), para almacenar (botón "Guardar" y para eliminar (botón "Eliminar").

Las matrices transaccionales se almacenan en una base de datos llamada MrkovChains.db y es de tipo SQLit. Al crear una nueva matriz transaccional, se introduce en el diálogo el tamaño de la matriz, que es cuadrada. Los nombres de las matrices transaccionales y sus nombres se muestran en una lista desplegable. Al seleccionar una matriz transaccional, su contenido se muestra en una tabla y aparece el botón "Calcular", que permite calcular los vectores de estado x(k). Al presionar el botón "Calcular" en el cuadro de diálogo, se introducen los números k de los vectores calculados de estado x(k). El anexo también incluye una función para formatear un archivo (llamado AppMarkovChains.txt) para imprimir en la pantalla la matriz transaccional o los vectores de estado x(k). Los archivos formateados se pueden almacenar en el directorio de archivos del dispositivo, que tiene una estructura de árbol. Al seleccionar la carpeta, aparece el botón verde "Almacenar". Al presionarlo, se selecciona si se desea almacenar.