App Markov Chains

L'objectif de cette application est de fournir un moyen pratique de créer la matrice de transition de la chaîne de Markov et de la résoudre afin de déterminer les vecteurs d'état x(1), x(2),...,x(n),... .

Une chaîne de Markov est un processus stochastique décrivant une séquence d'événements possibles où la probabilité de chaque événement dépend uniquement de l'état atteint lors de l'événement précédent. Cette propriété est appelée propriété de Markov ou absence de mémoire. Les chaînes de Markov simplifient l'étude de nombreux processus réels en se concentrant sur l'état actuel et les probabilités de transition, ce qui en fait un outil puissant dans diverses disciplines scientifiques et d'ingénierie.

Supposons qu'un système physique ou mathématique subisse un processus de changement tel qu'il puisse occuper à tout moment l'un des états finis.

Supposons qu'un tel système passe d'un état à un autre au fil du temps et que son état soit observé à des instants programmés. Si l'état du système lors d'une observation ne peut être prédit avec certitude, mais que la probabilité qu'un état donné se produise peut être prédite simplement en connaissant l'état du système lors de l'observation précédente, alors le processus de changement est appelé chaîne de Markov ou processus de Markov.

Si une chaîne de Markov possède k états possibles, que nous appelons 1, 2,..., k, alors la probabilité que le système soit dans l'état i lors d'une observation après avoir été dans l'état j lors de l'observation précédente est notée p(i, j) et est appelée probabilité de transition de l'état j à l'état i. La matrice P=[p(i, j)] est appelée matrice de transition de la chaîne de Markov.

Le vecteur d'état d'une observation d'une chaîne de Markov à k états est un vecteur colonne x dont la i-ième composante x(i) est la probabilité que le système soit dans l'état i à cet instant.

Observons que les entrées de tout vecteur d'état d'une chaîne de Markov sont positives et ont une somme de 1. Supposons maintenant que nous connaissions le vecteur d'état x(0) d'une chaîne de Markov à une observation initiale. L'instruction suivante nous permettra de déterminer les vecteurs d'état x(1), x(2),...,x(n),... aux instants d'observation suivants. Si P est la matrice de transition d'une chaîne de Markov et x(n) le vecteur d'état à la n-ième observation, alors x(n+1) = P*x(n).

L'activité de démarrage de l'Annexe lance une fonction permettant de créer une nouvelle matrice transactionnelle (bouton « Nouveau »), de la stocker (boutons « Enregistrer » et « Enregistrer sous ») et de la supprimer (bouton « Supprimer »).

Les matrices transactionnelles sont stockées dans une base de données nommée MrkovChains.db et de type SQlit. Lors de la création d'une nouvelle matrice transactionnelle, un dialogue est introduit, la taille de la matrice étant carrée.

Le nom de chaque matrice transactionnelle est affiché dans une liste déroulante. Lorsque vous sélectionnez « Matrice transactionnelle », son contenu s'affiche dans un tableau et le bouton « Calculer » apparaît, permettant de calculer les vecteurs d'état x(k). Dans la boîte de dialogue « Calculer », saisissez « k », le nombre de vecteurs calculés d'état x(k). L'annexe dispose également d'une fonction de formatage dans un fichier (nommé AppMarkovChains.txt) pour l'affichage de la matrice transactionnelle ou des vecteurs d'état x(k). Les fichiers formatés peuvent être stockés dans le répertoire de l'appareil, qui présente une arborescence. Dans la sélection du dossier, un bouton vert « Stockage » apparaît. En appuyant sur ce bouton, vous pouvez choisir d'effectuer le stockage dans la boîte de dialogue.