App Markov Chains

Lo scopo dell'applicazione è fornire un mezzo pratico per creare la matrice di transizione della catena di Markov e risolverla per determinare i vettori di stato x(1), x(2),...,x(n),...

Una catena di Markov è un processo stocastico che descrive una sequenza di possibili eventi in cui la probabilità di ciascun evento dipende solo dallo stato raggiunto nell'evento precedente. Questa proprietà è nota come proprietà di Markov o assenza di memoria. Le catene di Markov semplificano lo studio di molti processi del mondo reale concentrandosi sullo stato attuale e sulle probabilità di transizione, rendendole un potente strumento in varie discipline scientifiche e ingegneristiche.

Supponiamo che un sistema fisico o matematico subisca un processo di cambiamento tale che in qualsiasi momento possa occupare uno di un numero finito di stati.

Supponiamo che tale sistema cambi nel tempo da uno stato all'altro e che a intervalli programmati venga osservato lo stato del sistema. Se lo stato del sistema a qualsiasi osservazione non può essere previsto con certezza, ma la probabilità che si verifichi un dato stato può essere prevista semplicemente conoscendo lo stato del sistema all'osservazione precedente, allora il processo di cambiamento è chiamato catena di Markov o processo di Markov.

Se una catena di Markov ha k stati possibili, che etichettiamo come 1, 2,..., k, allora la probabilità che il sistema si trovi nello stato i a qualsiasi osservazione dopo essere stato nello stato j all'osservazione precedente è indicata con p(i, j) ed è chiamata probabilità di transizione dallo stato j allo stato i. La matrice P=[p(i, j)] è chiamata matrice di transizione della catena di Markov.

Il vettore di stato per un'osservazione di una catena di Markov con k stati è un vettore colonna x la cui i-esima componente x(i) è la probabilità che il sistema si trovi nello stato i-esimo in quel momento.

Osserviamo che le voci in qualsiasi vettore di stato per una catena di Markov sono non negative e hanno una somma pari a 1. Supponiamo ora di conoscere il vettore di stato x(0) per una catena di Markov a una certa osservazione iniziale. La seguente istruzione ci permetterà di determinare i vettori di stato x(1), x(2),...,x(n),... ai tempi di osservazione successivi. Se P è la matrice di transizione di una catena di Markov e x(n) è il vettore di stato all'osservazione n-esima, allora x(n+1) = P*x(n).

Dall'attività di avvio dell'Allegato viene avviata la funzione per la creazione di una nuova matrice transazionale (pulsante Nuovo), per l'archiviazione (pulsante Salva, salva con nome) e per l'eliminazione (pulsante Elimina).

Le matrici di transazione vengono archiviate in un database con il nome MrkovChains.db e di tipo SQLit. Nella creazione di una nuova matrice transazionale, il dialogo introduce la dimensione della matrice, che è quadrata.

Tutti i nomi delle matrici transazionali e il loro nome vengono visualizzati in un elenco a discesa; selezionando la matrice transazionale, l'elenco del suo contenuto viene visualizzato in una tabella e appare il pulsante Calcola, attraverso il quale vengono calcolati i vettori di stato x(k). Premendo il pulsante Calcola nella finestra di dialogo, immettere k, i numeri dei vettori calcolati di stato x(k). Allegato: ha anche una funzione per la formattazione in un file (denominato AppMarkovChains.txt) per la stampa sul display della matrice transazionale o dei vettori che mostrano lo stato x(k). I file formattati possono essere memorizzati nella directory del dispositivo, che ha una struttura ad albero. Nella selezione della cartella appare il pulsante di archiviazione verde; premendolo, si sceglie dalla finestra di dialogo se eseguire l'archiviazione.