App Markov Chains

Celem aplikacji jest zapewnienie wygodnego sposobu tworzenia macierzy przejść łańcucha Markowa i rozwiązywania w celu wyznaczenia wektorów stanu x(1), x(2),...,x(n),... .

Łańcuch Markowa to proces stochastyczny opisujący ciąg możliwych zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od stanu osiągniętego w zdarzeniu poprzednim. Ta właściwość jest znana jako właściwość Markowa lub brak pamięci. Łańcuchy Markowa upraszczają badanie wielu procesów w świecie rzeczywistym, koncentrując się na stanie bieżącym i prawdopodobieństwach przejść, co czyni je potężnym narzędziem w różnych dyscyplinach naukowych i inżynierskich.

Załóżmy, że układ fizyczny lub matematyczny podlega procesowi zmian, tak że w dowolnym momencie może zająć jeden ze skończonej liczby stanów.

Załóżmy, że taki układ zmienia się w czasie z jednego stanu w drugi i w zaplanowanych momentach stan układu jest obserwowany. Jeśli stanu układu w dowolnej obserwacji nie można przewidzieć z całą pewnością, ale prawdopodobieństwo wystąpienia danego stanu można przewidzieć, znając jedynie stan układu w poprzedniej obserwacji, wówczas proces zmiany nazywa się łańcuchem Markowa lub procesem Markowa.

Jeśli łańcuch Markowa ma k możliwych stanów, które oznaczamy jako 1, 2,..., k, wówczas prawdopodobieństwo, że układ znajduje się w stanie i w dowolnej obserwacji po tym, jak znajdował się w stanie j w poprzedniej obserwacji, oznaczamy jako p(i, j) i nazywamy prawdopodobieństwem przejścia ze stanu j do stanu i. Macierz P=[p(i, j)] nazywana jest macierzą przejścia łańcucha Markowa.

Wektor stanu dla obserwacji łańcucha Markowa z k stanami jest wektorem kolumnowym x, którego i-ta składowa x(i) jest prawdopodobieństwem, że układ znajduje się w i-tym stanie w tym momencie.

Zauważ, że wpisy w dowolnym wektorze stanu łańcucha Markowa są nieujemne i mają sumę równą 1. Załóżmy teraz, że znamy wektor stanu x(0) łańcucha Markowa w pewnej początkowej obserwacji. Poniższe stwierdzenie pozwoli nam określić wektory stanu x(1), x(2),...,x(n),... w kolejnych momentach obserwacji. Jeśli P jest macierzą przejścia łańcucha Markowa, a x(n) jest wektorem stanu w n-tej obserwacji, to x(n+1) = P*x(n).

Po uruchomieniu funkcji Annex uruchamiana jest funkcja tworzenia nowej macierzy transakcyjnej (przycisk Nowa), do przechowywania (przycisk Zapisz, zapisz jako) i usuwania (z drugiej strony, przycisk Usuń).

Macierze transakcji są przechowywane w bazie danych o nazwie MrkovChains.db i są typu SQlit. Podczas tworzenia nowej macierzy transakcyjnej wprowadzany jest dialog o rozmiarze macierzy, który jest kwadratowy.

Nazwy macierzy transakcyjnych i ich nazwy są wyświetlane na liście rozwijanej. Po wybraniu macierzy transakcyjnej lista jej zawartości jest wyświetlana w tabeli, a następnie pojawia się przycisk Oblicz, za pomocą którego obliczane są wektory stanu x(k). Po naciśnięciu przycisku Oblicz w oknie dialogowym wprowadź k, liczby obliczonych wektorów stanu x(k). Załącznik posiada również funkcję formatowania w pliku (o nazwie AppMarkovChains.txt) w celu wydrukowania na wyświetlaczu macierzy transakcyjnej lub wektorów przedstawionych w stanie x(k). Sformatowane pliki można zapisać w katalogu urządzenia, który ma strukturę drzewiastą. W oknie dialogowym Wybór folderu pojawia się zielony przycisk Przechowywanie. Po naciśnięciu wybiera się z okna dialogowego, czy wykonać Przechowywanie.