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Boolesches Postulat, Eigenschaften und Sätze

Die folgenden Postulate, Eigenschaften und Theoreme sind in der Booleschen Algebra gültig und werden zur Vereinfachung logischer Ausdrücke oder Funktionen verwendet:

Postulate sind selbstverständliche Wahrheiten.

1a: $A=1$ (wenn A 0) 1b: $A=0$ (wenn A ≠ 1)

2a: $0∙0=0$ 2b: $0+0=0$

3a: $1∙1=1$ 3b: $1+1=1$

4a: $1∙0=0$ 4b: $1+0=1$

5a: $\overline{1}=0$ 5b: $\overline{0}=1$

EIGENSCHAFTEN, die in der Booleschen Algebra gültig sind, ähneln denen in der gewöhnlichen Algebra

Kommutativ $A∙B=B∙A$ $A+B=B+A$

Assoziativ $A∙(B∙C)=(A∙B)∙C$ $A+(B+C)=(A+B)+C$

Distributiv $A∙(B+C)=A∙B+A∙C$ $A+(B∙C)=(A+B)∙(A+C)$

THEOREME, die in der Booleschen Algebra definiert sind, sind die folgenden:

1a: $A∙0=0$ 1b: $A+0=A$

2a: $A∙1=A$ 2b: $A+1=1$

3a: $A∙A=A$ 3b: $A+A=A$

4a: $A∙\overline{A}=0$ 4b: $A+\overline{A}=1$

5a: $\overline{\overline{A}}=A$ 5b: $A=\overline{\overline{A}}$

6a: $\overline{A∙B}=\overline{A}+\overline{B}$ 6b: $\overline{A+B}=\overline{A}∙\overline{B}$

Durch die Anwendung boolescher Postulate, Eigenschaften und/oder Theoreme können wir komplexe boolesche Ausdrücke vereinfachen und ein kleineres logisches Blockschaltbild erstellen (kostengünstigere Schaltung).

Um beispielsweise $AB(A+C)$ zu vereinfachen, haben wir:

$AB(A+C)$ Verteilungsgesetz

=$ABA+ABC$ kumulatives Gesetz

=$AAB+ABC$ Satz 3a

=$AB+ABC$ Verteilungsgesetz

=$AB(1+C)$ Satz 2b

=$AB1$ Satz 2a

=$AB$

Obwohl dies alles ist, was Sie brauchen, um eine boolesche Gleichung zu vereinfachen. Sie können eine Erweiterung der Sätze/Gesetze verwenden, um die Vereinfachung zu erleichtern. Das Folgende verringert die Anzahl der Schritte, die zur Vereinfachung erforderlich sind, wird jedoch schwieriger zu identifizieren sein.

7a: $A∙(A+B)=A$ 7b: $A+A∙B=A$

8a: $(A+B)∙(A+\overline{B})=A$ 8b: $A∙B+A∙\overline{B}=A$

9a: $(A+\overline{B})∙B=A∙B$ 9b: $A∙\overline{B}+B=A+B$

10: $A⊕B=\overline{A}∙B+A∙\overline{B}$

11: $A⊙B=\overline{A}∙\overline{B}+A∙B$

⊕ = XOR, ⊙ = XNOR

Mit diesen neuen Sätzen/Gesetzen können wir nun den vorherigen Ausdruck so vereinfachen.

Um $AB(A+C)$ zu vereinfachen, haben wir:

$AB(A+C)$ Verteilungsgesetz

=$ABA+ABC$ kumulatives Gesetz

=$AAB+ABC$ Satz 3a

=$AB+ABC$ Satz 7b