Boolean simplifier

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Postulat booléen, propriétés et théorèmes

Le postulat, les propriétés et les théorèmes suivants sont valides en algèbre booléenne et sont utilisés dans la simplification d'expressions ou de fonctions logiques :

Les POSTULATS sont des vérités évidentes.

1a : $A=1$ (si A 0) 1b : $A=0$ (si A ≠ 1)

2a : 0$∙0=0$ 2b : 0$+0=0$

3a : $1∙1=1$ 3b : $1+1=1$

4a : $1∙0=0$ 4b : $1+0=1$

5a : $\overline{1}=0$ 5b : $\overline{0}=1$

Les PROPRIÉTÉS valides en algèbre booléenne sont similaires à celles de l'algèbre ordinaire

Commutatif $A∙B=B∙A$ $A+B=B+A$

Associatif $A∙(B∙C)=(A∙B)∙C$ $A+(B+C)=(A+B)+C$

Distribution $A∙(B+C)=A∙B+A∙C$ $A+(B∙C)=(A+B)∙(A+C)$

Les théorèmes définis en algèbre booléenne sont les suivants :

1a : $A∙0=0$ 1b : $A+0=A$

2a : $A∙1=A$ 2b : $A+1=1$

3a : $A∙A=A$ 3b : $A+A=A$

4a : $A∙\overline{A}=0$ 4b : $A+\overline{A}=1$

5a : $\overline{\overline{A}}=A$ 5b : $A=\overline{\overline{A}}$

6a : $\overline{A∙B}=\overline{A}+\overline{B}$ 6b : $\overline{A+B}=\overline{A}∙\overline{B}$

En appliquant des postulats, des propriétés et/ou des théorèmes booléens, nous pouvons simplifier des expressions booléennes complexes et construire un schéma logique plus petit (circuit moins coûteux).

Par exemple, pour simplifier $AB(A+C)$ nous avons :

$AB(A+C)$ loi distributive

=$ABA+ABC$ loi cumulative

=$AAB+ABC$ théorème 3a

=$AB+ABC$ loi distributive

=$AB(1+C)$ théorème 2b

=$AB1$ théorème 2a

=$AB$

Bien que ce qui précède soit tout ce dont vous avez besoin pour simplifier une équation booléenne. Vous pouvez utiliser une extension des théorèmes/lois pour faciliter la simplification. Ce qui suit réduira le nombre d'étapes nécessaires pour simplifier, mais sera plus difficile à identifier.

7a : $A∙(A+B)=A$ 7b : $A+A∙B=A$

8a : $(A+B)∙(A+\overline{B})=A$ 8b : $A∙B+A∙\overline{B}=A$

9a : $(A+\overline{B})∙B=A∙B$ 9b : $A∙\overline{B}+B=A+B$

10 : $A⊕B=\overline{A}∙B+A∙\overline{B}$

11 : $A⊙B=\overline{A}∙\overline{B}+A∙B$

⊕ = XOU, ⊙ = XNOR

Maintenant, en utilisant ces nouveaux théorèmes/lois, nous pouvons simplifier l'expression précédente comme ceci.

Pour simplifier $AB(A+C)$ on a :

$AB(A+C)$ loi distributive

=$ABA+ABC$ loi cumulative

=$AAB+ABC$ théorème 3a

=$AB+ABC$ théorème 7b