Boolean simplifier

esta es la aplicación de vista web de "https://www.boolean-algebra.com"

Postulado booleano, propiedades y teoremas

Los siguientes postulados, propiedades y teoremas son válidos en álgebra booleana y se utilizan para simplificar expresiones o funciones lógicas:

Los POSTULADOS son verdades evidentes.

1a: $ A = 1 $ (si A ≠ 0) 1b: $ A = 0 $ (si A ≠ 1)

2a: $ 0 ∙ 0 = 0 $ 2b: $ 0 + 0 = 0 $

3a: $ 1 ∙ 1 = 1 $ 3b: $ 1 + 1 = 1 $

4a: $ 1 ∙ 0 = 0 $ 4b: $ 1 + 0 = 1 $

5a: $ \ overline {1} = 0 $ 5b: $ \ overline {0} = 1 $

Las PROPIEDADES que son válidas en el álgebra de Boole son similares a las del álgebra ordinaria

Conmutativo $ A ∙ B = B ∙ A $ $ A + B = B + A $

Asociativo $ A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C $ $ A + (B + C) = (A + B) + C $

Distributivo $ A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C $ $ A + (B ∙ C) = (A + B) ∙ (A + C) $

Los TEOREMAS que se definen en Álgebra de Boole son los siguientes:

1a: $ A ∙ 0 = 0 $ 1b: $ A + 0 = A $

2a: $ A ∙ 1 = A $ 2b: $ A + 1 = 1 $

3a: $ A ∙ A = A $ 3b: $ A + A = A $

4a: $ A ∙ \ overline {A} = 0 $ 4b: $ A + \ overline {A} = 1 $

5a: $ \ overline {\ overline {A}} = A $ 5b: $ A = \ overline {\ overline {A}} $

6a: $ \ overline {A ∙ B} = \ overline {A} + \ overline {B} $ 6b: $ \ overline {A + B} = \ overline {A} ∙ \ overline {B} $

Al aplicar postulados, propiedades y / o teoremas booleanos, podemos simplificar expresiones booleanas complejas y construir un diagrama de bloques lógicos más pequeño (circuito menos costoso).

Por ejemplo, para simplificar $ AB (A + C) $ tenemos:

$ AB (A + C) $ ley distributiva

= $ ABA + ABC $ ley acumulativa

= $ AAB + ABC $ teorema 3a

= $ AB + ABC $ ley distributiva

= $ AB (1 + C) $ teorema 2b

= $ AB1 $ teorema 2a

= $ AB $

Aunque lo anterior es todo lo que necesita para simplificar una ecuación booleana. Puede utilizar una extensión de los teoremas / leyes para facilitar la simplificación. Lo siguiente reducirá la cantidad de pasos necesarios para simplificar, pero será más difícil de identificar.

7a: $ A ∙ (A + B) = A $ 7b: $ A + A ∙ B = A $

8a: $ (A + B) ∙ (A + \ overline {B}) = A $ 8b: $ A ∙ B + A ∙ \ overline {B} = A $

9a: $ (A + \ overline {B}) ∙ B = A ∙ B $ 9b: $ A ∙ \ overline {B} + B = A + B $

10: $ A⊕B = \ overline {A} ∙ B + A ∙ \ overline {B} $

11: $ A⊙B = \ overline {A} ∙ \ overline {B} + A ∙ B $

⊕ = XOR, ⊙ = XNOR

Ahora, usando estos nuevos teoremas / leyes, podemos simplificar la expresión anterior de esta manera.

Para simplificar $ AB (A + C) $ tenemos:

$ AB (A + C) $ ley distributiva

= $ ABA + ABC $ ley acumulativa

= $ AAB + ABC $ teorema 3a

= $ AB + ABC $ teorema 7b