Boolean simplifier

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Postulato booleano, proprietà e teoremi

I seguenti postulati, proprietà e teoremi sono validi nell'algebra booleana e sono usati nella semplificazione di espressioni o funzioni logiche:

I POSTULATI sono verità auto-evidenti.

1a: $A=1$ (se A 0) 1b: $A=0$ (se A 1)

2a: $0∙0=0$ 2b: $0+0=0$

3a: $1∙1=1$ 3b: $1+1=1$

4a: $1∙0=0$ 4b: $1+0=1$

5a: $\overline{1}=0$ 5b: $\overline{0}=1$

Le PROPRIETÀ valide nell'algebra booleana sono simili a quelle dell'algebra ordinaria

Commutativo $A∙B=B∙A$ $A+B=B+A$

Associativo $A∙(B∙C)=(A∙B)∙C$ $A+(B+C)=(A+B)+C$

Distributivo $A∙(B+C)=A∙B+A∙C$ $A+(B∙C)=(A+B)∙(A+C)$

I TEOREMI definiti nell'algebra booleana sono i seguenti:

1a: $A∙0=0$ 1b: $A+0=A$

2a: $A∙1=A$ 2b: $A+1=1$

3a: $A∙A=A$ 3b: $A+A=A$

4a: $A∙\overline{A}=0$ 4b: $A+\overline{A}=1$

5a: $\overline{\overline{A}}=A$ 5b: $A=\overline{\overline{A}}$

6a: $\overline{A∙B}=\overline{A}+\overline{B}$ 6b: $\overline{A+B}=\overline{A}∙\overline{B}$

Applicando postulati, proprietà e/o teoremi booleani possiamo semplificare espressioni booleane complesse e costruire un diagramma a blocchi logico più piccolo (circuito meno costoso).

Ad esempio, per semplificare $AB(A+C)$ abbiamo:

$AB(A+C)$ legge distributiva

=$ABA+ABC$ legge cumulativa

=$AAB+ABC$ teorema 3a

=$AB+ABC$ legge distributiva

=$AB(1+C)$ teorema 2b

=$AB1$ teorema 2a

=$AB$

Sebbene quanto sopra sia tutto ciò che serve per semplificare un'equazione booleana. È possibile utilizzare un'estensione dei teoremi/leggi per semplificare più facilmente. Quanto segue ridurrà la quantità di passaggi necessari per semplificare, ma sarà più difficile da identificare.

7a: $A∙(A+B)=A$ 7b: $A+A∙B=A$

8a: $(A+B)∙(A+\overline{B})=A$ 8b: $A∙B+A∙\overline{B}=A$

9a: $(A+\overline{B})∙B=A∙B$ 9b: $A∙\overline{B}+B=A+B$

10: $A⊕B=\overline{A}∙B+A∙\overline{B}$

11: $A⊙B=\overline{A}∙\overline{B}+A∙B$

⊕ = XOR, ⊙ = XNOR

Ora usando questi nuovi teoremi/leggi possiamo semplificare l'espressione precedente in questo modo.

Per semplificare $AB(A+C)$ abbiamo:

$AB(A+C)$ legge distributiva

=$ABA+ABC$ legge cumulativa

=$AAB+ABC$ teorema 3a

=$AB+ABC$ teorema 7b