Boolean simplifier

это приложение для просмотра веб-страниц сайта https://www.boolean-algebra.com

Логический постулат, свойства и теоремы

Следующие постулаты, свойства и теоремы действительны в булевой алгебре и используются для упрощения логических выражений или функций:

ПОСТУЛАТЫ - самоочевидные истины.

1a: $ A = 1 $ (если A ≠ 0) 1b: $ A = 0 $ (если A ≠ 1)

2a: $ 0 ∙ 0 = 0 $ 2b: $ 0 + 0 = 0 $

3a: 1 доллар ∙ 1 = 1 доллар 3b: 1 доллар + 1 = 1 доллар

4a: 1 доллар ∙ 0 = 0 доллар 4b: 1 доллар + 0 = 1 доллар

5a: $ \ overline {1} = 0 $ 5b: $ \ overline {0} = 1 $

СВОЙСТВА, действующие в булевой алгебре, аналогичны свойствам в обычной алгебре.

Коммутативный $ A ∙ B = B ∙ A $ $ A + B = B + A $

Ассоциативный $ A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C $ $ A + (B + C) = (A + B) + C $

Распределительный $ A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C $ $ A + (B ∙ C) = (A + B) ∙ (A + C) $

ТЕОРЕМЫ, которые определены в булевой алгебре, следующие:

1a: $ A ∙ 0 = 0 $ 1b: $ A + 0 = A $

2a: $ A ∙ 1 = A $ 2b: $ A + 1 = 1 $

3a: $ A ∙ A = A $ 3b: $ A + A = A $

4a: $ A ∙ \ overline {A} = 0 $ 4b: $ A + \ overline {A} = 1 $

5a: $ \ overline {\ overline {A}} = A $ 5b: $ A = \ overline {\ overline {A}} $

6a: $ \ overline {A ∙ B} = \ overline {A} + \ overline {B} $ 6b: $ \ overline {A + B} = \ overline {A} ∙ \ overline {B} $

Применяя логические постулаты, свойства и / или теоремы, мы можем упростить сложные логические выражения и построить меньшую логическую блок-схему (менее дорогая схема).

Например, чтобы упростить $ AB (A + C) $, мы имеем:

$ AB (A + C) $ закон распределения

= $ ABA + ABC $ совокупный закон

= $ AAB + ABC $ теорема 3a

= $ AB + ABC $ закон распределения

= $ AB (1 + C) $ теорема 2b

= $ AB1 $ теорема 2a

= $ AB $

Хотя приведенное выше - это все, что вам нужно для упрощения логического уравнения. Вы можете использовать расширение теорем / законов, чтобы упростить их. Следующее уменьшит количество шагов, необходимых для упрощения, но будет труднее идентифицировать.

7a: $ A ∙ (A + B) = A $ 7b: $ A + A ∙ B = A $

8a: $ (A + B) ∙ (A + \ overline {B}) = A $ 8b: $ A ∙ B + A ∙ \ overline {B} = A $

9a: $ (A + \ overline {B}) ∙ B = A ∙ B $ 9b: $ A ∙ \ overline {B} + B = A + B $

10: $ A⊕B = \ overline {A} ∙ B + A ∙ \ overline {B} $

11: $ A⊙B = \ overline {A} ∙ \ overline {B} + A ∙ B $

⊕ = исключающее ИЛИ, ⊙ = исключающее ИЛИ

Теперь, используя эти новые теоремы / законы, мы можем упростить предыдущее выражение следующим образом.

Чтобы упростить $ AB (A + C) $, мы имеем:

$ AB (A + C) $ закон распределения

= $ ABA + ABC $ совокупный закон

= $ AAB + ABC $ теорема 3a

= $ AB + ABC $ теорема 7b