Boolean simplifier

dit is de webweergave-app van "https://www.boolean-algebra.com"

Booleaans postulaat, eigenschappen en stellingen

De volgende postulaat, eigenschappen en stellingen zijn geldig in Booleaanse algebra en worden gebruikt ter vereenvoudiging van logische uitdrukkingen of functies:

POSTULATEN zijn vanzelfsprekende waarheden.

1a: $A=1$ (als A ≠ 0) 1b: $A=0$ (als A ≠ 1)

2a: $0∙0=0$ 2b: $0+0=0$

3a: $1∙1=1$ 3b: $1+1=1$

4a: $1∙0=0$ 4b: $1+0=1$

5a: $\overline{1}=0$ 5b: $\overline{0}=1$

EIGENSCHAPPEN die geldig zijn in Booleaanse algebra zijn vergelijkbaar met die in gewone algebra

Commutatief $A∙B=B∙A$ $A+B=B+A$

Associatief $A∙(B∙C)=(A∙B)∙C$ $A+(B+C)=(A+B)+C$

Distributieve $A∙(B+C)=A∙B+A∙C$ $A+(B∙C)=(A+B)∙(A+C)$

THEOREMEN die zijn gedefinieerd in Booleaanse algebra zijn de volgende:

1a: $A∙0=0$ 1b: $A+0=A$

2a: $A∙1=A$ 2b: $A+1=1$

3a: $A∙A=A$ 3b: $A+A=A$

4a: $A∙\overline{A}=0$ 4b: $A+\overline{A}=1$

5a: $\overline{\overline{A}}=A$ 5b: $A=\overline{\overline{A}}$

6a: $\overline{A∙B}=\overline{A}+\overline{B}$ 6b: $\overline{A+B}=\overline{A}∙\overline{B}$

Door Booleaanse postulaten, eigenschappen en/of stellingen toe te passen, kunnen we complexe Booleaanse uitdrukkingen vereenvoudigen en een kleiner logisch blokschema bouwen (goedkopere schakeling).

Om bijvoorbeeld $AB(A+C)$ te vereenvoudigen, hebben we:

$AB(A+C)$ distributieve wet

=$ABA+ABC$ cumulatieve wet

=$AAB+ABC$ stelling 3a

=$AB+ABC$ distributieve wet

=$AB(1+C)$ stelling 2b

=$AB1$ stelling 2a

=$AB$

Hoewel het bovenstaande alles is wat je nodig hebt om een ​​Booleaanse vergelijking te vereenvoudigen. U kunt een uitbreiding van de stellingen/wetten gebruiken om het vereenvoudigen te vergemakkelijken. Het volgende zal het aantal stappen verminderen dat nodig is om te vereenvoudigen, maar zal moeilijker te identificeren zijn.

7a: $A∙(A+B)=A$ 7b: $A+A∙B=A$

8a: $(A+B)∙(A+\overline{B})=A$ 8b: $A∙B+A∙\overline{B}=A$

9a: $(A+\overline{B})∙B=A∙B$ 9b: $A∙\overline{B}+B=A+B$

10: $A⊕B=\overline{A}∙B+A∙\overline{B}$

11: $A⊙B=\overline{A}∙\overline{B}+A∙B$

⊕ = XOR, ⊙ = XNOR

Met behulp van deze nieuwe stellingen/wetten kunnen we de vorige uitdrukking op deze manier vereenvoudigen.

Om $AB(A+C)$ te vereenvoudigen hebben we:

$AB(A+C)$ distributieve wet

=$ABA+ABC$ cumulatieve wet

=$AAB+ABC$ stelling 3a

=$AB+ABC$ stelling 7b