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बूलियन अभिधारणा, गुण और प्रमेय

निम्नलिखित अभिधारणा, गुण और प्रमेय बूलियन बीजगणित में मान्य हैं और तार्किक अभिव्यक्तियों या कार्यों के सरलीकरण में उपयोग किए जाते हैं:

POSTULATES स्वयं स्पष्ट सत्य हैं।

1a: $A=1$ (यदि A 0) 1b: $A=0$ (यदि A ≠ 1)

2a: $0∙0=0$ 2b: $0+0=0$

3ए: $1∙1=1$ 3बी: $1+1=1$

4a: $1∙0=0$ 4b: $1+0=1$

5a: $\overline{1}=0$ 5b: $\overline{0}=1$

बूलियन बीजगणित में मान्य गुण सामान्य बीजगणित के समान होते हैं

कम्यूटेटिव $A∙B=B∙A$ $A+B=B+A$

सहयोगी $A∙(B∙C)=(A∙B)∙C$ $A+(B+C)=(A+B)+C$

वितरक $A∙(B+C)=A∙B+A∙C$ $A+(B∙C)=(A+B)∙(A+C)$

बूलियन बीजगणित में परिभाषित प्रमेय निम्नलिखित हैं:

1a: $A∙0=0$ 1b: $A+0=A$

2a: $A∙1=A$ 2b: $A+1=1$

3a: $A∙A=A$ 3b: $A+A=A$

4a: $A∙\overline{A}=0$ 4b: $A+\overline{A}=1$

5a: $\overline{\overline{A}}=A$ 5b: $A=\overline{\overline{A}}$

6a: $\overline{A∙B}=\overline{A}+\overline{B}$ 6b: $\overline{A+B}=\overline{A}∙\overline{B}$

बूलियन अभिधारणाओं, गुणों और/या प्रमेयों को लागू करके हम जटिल बूलियन व्यंजकों को सरल बना सकते हैं और एक छोटा तर्क ब्लॉक आरेख (कम खर्चीला सर्किट) बना सकते हैं।

उदाहरण के लिए, $AB(A+C)$ को सरल बनाने के लिए हमारे पास है:

$AB(A+C)$ वितरण कानून

=$एबीए+एबीसी$ संचयी कानून

=$एएबी+एबीसी$ प्रमेय 3ए

=$AB+ABC$ वितरण कानून

=$AB(1+C)$ प्रमेय 2b

=$AB1$ प्रमेय 2a

=$एबी$

यद्यपि उपरोक्त सभी आपको बूलियन समीकरण को सरल बनाने की आवश्यकता है। आप इसे आसान बनाने के लिए प्रमेयों/नियमों के विस्तार का उपयोग कर सकते हैं। निम्नलिखित सरल बनाने के लिए आवश्यक चरणों की मात्रा को कम कर देगा लेकिन पहचानना अधिक कठिन होगा।

7a: $A∙(A+B)=A$ 7b: $A+A∙B=A$

8a: $(A+B)∙(A+\overline{B})=A$ 8b: $A∙B+A∙\overline{B}=A$

9a: $(A+\overline{B})∙B=A∙B$ 9b: $A∙\overline{B}+B=A+B$

10: $A⊕B=\overline{A}∙B+A∙\overline{B}$

11: $A⊙B=\overline{A}∙\overline{B}+A∙B$

= एक्सओआर, = एक्सएनओआर

अब इन नए प्रमेयों/नियमों का उपयोग करके हम पिछले व्यंजक को इस प्रकार सरल बना सकते हैं।

$AB(A+C)$ को सरल बनाने के लिए हमारे पास है:

$AB(A+C)$ वितरण कानून

=$एबीए+एबीसी$ संचयी कानून

=$एएबी+एबीसी$ प्रमेय 3ए

=$AB+ABC$ प्रमेय 7b