Boolean simplifier

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ブール仮説、プロパティ、および定理

次の仮説、プロパティ、および定理はブール代数で有効であり、論理式または関数の簡略化に使用されます。

POSTULATESは自明の真実です。

1a：$ A = 1 $（A≠0の場合）1b：$ A = 0 $（A≠1の場合）

2a：$ 0∙0 = 0 $ 2b：$ 0 + 0 = 0 $

3a：$ 1∙1 = 1 $ 3b：$ 1 + 1 = 1 $

4a：$ 1∙0 = 0 $ 4b：$ 1 + 0 = 1 $

5a：$ \ overline {1} = 0 $ 5b：$ \ overline {0} = 1 $

ブール代数で有効なプロパティは、通常の代数のものと似ています

可換$ A∙B = B∙A $ $ A + B = B + A $

連想$ A∙（B∙C）=（A∙B）∙C $ $ A +（B + C）=（A + B）+ C $

分配$ A∙（B + C）= A∙B + A∙C $ $ A +（B∙C）=（A + B）∙（A + C）$

ブール代数で定義されている定理は次のとおりです。

1a：$ A∙0 = 0 $ 1b：$ A + 0 = A $

2a：$ A∙1 = A $ 2b：$ A + 1 = 1 $

3a：$ A∙A = A $ 3b：$ A + A = A $

4a：$ A∙\ overline {A} = 0 $ 4b：$ A + \ overline {A} = 1 $

5a：$ \ overline {\ overline {A}} = A $ 5b：$ A = \ overline {\ overline {A}} $

6a：$ \ overline {A∙B} = \ overline {A} + \ overline {B} $ 6b：$ \ overline {A + B} = \ overline {A}∙\ overline {B} $

ブールの仮定、プロパティ、および/または定理を適用することにより、複雑なブール式を単純化し、より小さな論理ブロック図（より安価な回路）を構築できます。

たとえば、$ AB（A + C）$を単純化するために、次のようになります。

$ AB（A + C）$分配法則

= $ ABA + ABC $累積法

= $ AAB + ABC $定理3a

= $ AB + ABC $分配法則

= $ AB（1 + C）$定理2b

= $ AB1 $定理2a

= $ AB $

上記はブール方程式を単純化するために必要なすべてですが。定理/法則の拡張を使用して、単純化を容易にすることができます。以下は、単純化するために必要なステップの量を減らしますが、識別するのがより困難になります。

7a：$ A∙（A + B）= A $ 7b：$ A + A∙B = A $

8a：$（A + B）∙（A + \ overline {B}）= A $ 8b：$ A∙B + A∙\ overline {B} = A $

9a：$（A + \ overline {B}）∙B = A∙B $ 9b：$ A∙\ overline {B} + B = A + B $

10：$A⊕B= \ overline {A}∙B + A∙\ overline {B} $

11：$A⊙B= \ overline {A}∙\ overline {B} + A∙B $

⊕= XOR、⊙= XNOR

これらの新しい定理/法則を使用して、前の式をこのように単純化できます。

$ AB（A + C）$を単純化するために、次のようにします。

$ AB（A + C）$分配法則

= $ ABA + ABC $累積法

= $ AAB + ABC $定理3a

= $ AB + ABC $定理7b