Calculus Made Easy

Cálculo, originalmente chamado de cálculo infinitesimal ou "o cálculo dos infinitesimais", é o estudo matemático da mudança contínua, da mesma forma que a geometria é o estudo da forma, e a álgebra é o estudo das generalizações das operações aritméticas.

Tem dois ramos principais, cálculo diferencial e cálculo integral; o cálculo diferencial diz respeito às taxas instantâneas de variação e às inclinações das curvas, enquanto o cálculo integral diz respeito à acumulação de quantidades e áreas abaixo ou entre as curvas. Esses dois ramos estão relacionados entre si pelo teorema fundamental do cálculo e fazem uso das noções fundamentais de convergência de sequências infinitas e séries infinitas a um limite bem definido.

O cálculo infinitesimal foi desenvolvido independentemente no final do século XVII por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Trabalhos posteriores, incluindo a codificação da ideia de limites, colocaram esses desenvolvimentos em uma base conceitual mais sólida. Hoje, o cálculo tem amplo uso na ciência, engenharia e ciências sociais.

Na educação matemática, cálculo denota cursos de análise matemática elementar, que se dedicam principalmente ao estudo de funções e limites. A palavra cálculo é latim para "pequeno seixo" (o diminutivo de calx, que significa "pedra"), um significado que ainda persiste na medicina. Como esses seixos eram usados ​​para contar distâncias, contar votos e fazer aritmética de ábaco, a palavra passou a significar um método de cálculo. Nesse sentido, foi usado em inglês pelo menos já em 1672, vários anos antes das publicações de Leibniz e Newton.

Além do cálculo diferencial e cálculo integral, o termo também é usado para nomear métodos específicos de cálculo e teorias relacionadas que buscam modelar um conceito particular em termos de matemática. Exemplos dessa convenção incluem cálculo proposicional, cálculo de Ricci, cálculo de variações, cálculo lambda e cálculo de processo. Além disso, o termo "cálculo" tem sido aplicado de várias maneiras na ética e na filosofia, para sistemas como o cálculo felicífico de Bentham e o cálculo ético.

Embora muitas das ideias do cálculo tenham sido desenvolvidas anteriormente na Grécia, China, Índia, Iraque, Pérsia e Japão, o uso do cálculo começou na Europa, durante o século XVII, quando Newton e Leibniz se basearam no trabalho de matemáticos anteriores para apresentar seus princípios básicos. O polímata húngaro John von Neumann escreveu sobre este trabalho,

O cálculo foi a primeira conquista da matemática moderna e é difícil superestimar sua importância. Acho que define mais inequivocamente do que qualquer outra coisa o início da matemática moderna, e o sistema de análise matemática, que é seu desenvolvimento lógico, ainda constitui o maior avanço técnico no pensamento exato.

As aplicações do cálculo diferencial incluem cálculos envolvendo velocidade e aceleração, inclinação de uma curva e otimização.: 341–453  As aplicações do cálculo integral incluem cálculos envolvendo área, volume, comprimento do arco, centro de massa, trabalho e pressão.: 685– 700  Aplicações mais avançadas incluem séries de potência e séries Fourier.

O cálculo também é usado para obter uma compreensão mais precisa da natureza do espaço, do tempo e do movimento. Durante séculos, matemáticos e filósofos lutaram com paradoxos envolvendo divisão por zero ou somas de números infinitos. Essas questões surgem no estudo do movimento e da área. O antigo filósofo grego Zenão de Elea deu vários exemplos famosos de tais paradoxos. O cálculo fornece ferramentas, especialmente o limite e as séries infinitas, que resolvem os paradoxos.