Calculus Made Easy

Giải tích, ban đầu được gọi là phép tính thập phân hay "phép tính toán học của các phép tính vô cực", là môn toán học nghiên cứu sự thay đổi liên tục, giống như cách mà hình học là môn nghiên cứu về hình dạng, và đại số là môn học về sự tổng quát của các phép toán số học.

Nó có hai nhánh chính, phép tính vi phân và phép tính tích phân; phép tính vi phân liên quan đến tốc độ thay đổi tức thời và độ dốc của đường cong, trong khi phép tính tích phân liên quan đến sự tích lũy các đại lượng và diện tích bên dưới hoặc giữa các đường cong. Hai nhánh này liên hệ với nhau theo định lý cơ bản của giải tích, và chúng sử dụng các khái niệm cơ bản về sự hội tụ của chuỗi vô hạn và chuỗi vô hạn đến một giới hạn xác định rõ.

Phép tính vô số được phát triển độc lập vào cuối thế kỷ 17 bởi Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz. Công việc sau đó, bao gồm hệ thống hóa ý tưởng về giới hạn, đưa những phát triển này lên một nền tảng khái niệm vững chắc hơn. Ngày nay, phép tính được sử dụng rộng rãi trong khoa học, kỹ thuật và khoa học xã hội.

Trong giáo dục toán học, giải tích biểu thị các khóa học phân tích toán học cơ bản, chủ yếu dành cho việc nghiên cứu các hàm số và giới hạn. Từ tích trong tiếng Latinh có nghĩa là "viên sỏi nhỏ" (phần nhỏ của đài hoa, có nghĩa là "đá"), một ý nghĩa vẫn tồn tại trong y học. Bởi vì những viên sỏi như vậy được sử dụng để đếm khoảng cách, kiểm đếm phiếu bầu và thực hiện số học trên bàn tính, nên từ này có nghĩa là một phương pháp tính toán. Theo nghĩa này, nó đã được sử dụng bằng tiếng Anh ít nhất là vào năm 1672, vài năm trước khi xuất bản của Leibniz và Newton.

Ngoài phép tính vi phân và phép tính tích phân, thuật ngữ này cũng được sử dụng để gọi tên các phương pháp tính toán cụ thể và các lý thuyết liên quan nhằm mô hình hóa một khái niệm cụ thể về mặt toán học. Các ví dụ về quy ước này bao gồm phép tính mệnh đề, phép tính Ricci, phép tính các biến thể, phép tính lambda và phép tính quy trình. Hơn nữa, thuật ngữ "giải tích" đã được áp dụng khác nhau trong đạo đức học và triết học, cho các hệ thống như phép tính cụ thể của Bentham và phép tính đạo đức.

Trong khi nhiều ý tưởng về phép tính đã được phát triển trước đó ở Hy Lạp, Trung Quốc, Ấn Độ, Iraq, Ba Tư và Nhật Bản, thì việc sử dụng phép tính đã bắt đầu ở châu Âu, trong thế kỷ 17, khi Newton và Leibniz xây dựng dựa trên công trình của các nhà toán học trước đó để giới thiệu các nguyên tắc cơ bản của nó. Đa nguyên người Hungary John von Neumann đã viết về tác phẩm này,

Giải tích là thành tựu đầu tiên của toán học hiện đại và rất khó để đánh giá quá cao tầm quan trọng của nó. Tôi nghĩ rằng nó xác định rõ ràng hơn bất cứ điều gì khác về sự ra đời của toán học hiện đại, và hệ thống phân tích toán học, là sự phát triển lôgic của nó, vẫn tạo thành tiến bộ kỹ thuật lớn nhất trong tư duy chính xác.

Các ứng dụng của phép tính vi phân bao gồm các phép tính liên quan đến vận tốc và gia tốc, độ dốc của đường cong và tối ưu hóa: 341–453 Các ứng dụng của phép tính tích phân bao gồm các phép tính liên quan đến diện tích, thể tích, độ dài cung tròn, khối tâm, công và áp suất: 685– 700 Các ứng dụng nâng cao hơn bao gồm chuỗi nguồn và chuỗi Fourier.

Giải tích cũng được sử dụng để hiểu chính xác hơn về bản chất của không gian, thời gian và chuyển động. Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học và triết học đã vật lộn với những nghịch lý liên quan đến phép chia cho số 0 hoặc tổng của vô số số. Những câu hỏi này nảy sinh trong nghiên cứu chuyển động và diện tích. Nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno ở Elea đã đưa ra một số ví dụ nổi tiếng về những nghịch lý như vậy. Giải tích cung cấp các công cụ, đặc biệt là giới hạn và chuỗi vô hạn, để giải quyết các nghịch lý.