Calculus Made Easy

Исчисление, первоначально называвшееся исчислением бесконечно малых или «исчислением бесконечно малых», представляет собой математическое исследование непрерывных изменений, точно так же, как геометрия — это изучение формы, а алгебра — изучение обобщений арифметических операций.

У него есть две основные ветви: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление; дифференциальное исчисление касается мгновенных скоростей изменений и наклонов кривых, в то время как интегральное исчисление касается накопления величин и площадей под кривыми или между ними. Эти две ветви связаны друг с другом основной теоремой исчисления, и они используют фундаментальные понятия сходимости бесконечных последовательностей и бесконечных рядов к четко определенному пределу.

Исчисление бесконечно малых было независимо разработано в конце 17 века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Более поздние работы, в том числе систематизация идеи пределов, поставили эти разработки на более прочную концептуальную основу. Сегодня исчисление широко используется в науке, технике и социальных науках.

В математическом образовании исчисление обозначает курсы элементарного математического анализа, которые в основном посвящены изучению функций и пределов. Слово исчисление на латыни означает «маленькая галька» (уменьшительное от calx, что означает «камень»), значение, которое до сих пор сохраняется в медицине. Поскольку такие камешки использовались для подсчета расстояний, подсчета голосов и выполнения арифметических операций на счетах, это слово стало обозначать метод вычислений. В этом смысле он использовался в английском языке по крайней мере уже в 1672 году, за несколько лет до публикаций Лейбница и Ньютона.

В дополнение к дифференциальному исчислению и интегральному исчислению этот термин также используется для обозначения конкретных методов расчета и связанных с ними теорий, которые стремятся смоделировать конкретную концепцию с точки зрения математики. Примеры этого соглашения включают исчисление высказываний, исчисление Риччи, вариационное исчисление, лямбда-исчисление и исчисление процессов. Кроме того, термин «исчисление» по-разному применялся в этике и философии для таких систем, как исчисление счастья Бентама и этическое исчисление.

В то время как многие из идей исчисления были развиты ранее в Греции, Китае, Индии, Ираке, Персии и Японии, использование исчисления началось в Европе в 17 веке, когда Ньютон и Лейбниц, опираясь на работы более ранних математиков, познакомить с его основными принципами. Венгерский эрудит Джон фон Нейман писал об этой работе:

Исчисление было первым достижением современной математики, и его значение трудно переоценить. Я думаю, что она более чем что-либо другое определяет зарождение современной математики, а система математического анализа, являющаяся ее логическим развитием, до сих пор представляет собой величайшее техническое достижение точного мышления.

Приложения дифференциального исчисления включают вычисления, включающие скорость и ускорение, наклон кривой и оптимизацию.: 341–453  Приложения интегрального исчисления включают вычисления, включающие площадь, объем, длину дуги, центр масс, работу и давление.: 685– 700  Более продвинутые приложения включают степенные ряды и ряды Фурье.

Исчисление также используется для более точного понимания природы пространства, времени и движения. Веками математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или суммой бесконечного множества чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и площади. Древнегреческий философ Зенон Элейский привел несколько известных примеров таких парадоксов. Исчисление предоставляет инструменты, особенно предел и бесконечный ряд, которые разрешают парадоксы.