Calculus Made Easy

もともと微積分学または「微積分学」と呼ばれていた微積分は、幾何学が形状の研究であり、代数が算術演算の一般化の研究であるのと同じように、連続変化の数学的研究です。

微分計算と積分計算の 2 つの主要なブランチがあります。微分計算は瞬間的な変化率と曲線の傾きに関係し、積分計算は量の累積と曲線の下または曲線間の面積に関係します。これらの 2 つの分岐は、微積分の基本定理によって相互に関連付けられており、無限列と無限級数が明確に定義された限界に収束するという基本的な概念を利用しています。

無限小微積分は、17 世紀後半にアイザック ニュートンとゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツによって独自に開発されました。制限の考え方を体系化することを含むその後の作業は、これらの開発をより強固な概念的基盤に置きました。今日、微積分は科学、工学、社会科学で広く使用されています。

数学教育では、微積分は主に関数と極限の研究に専念する基本的な数学的分析のコースを意味します。 Calculus という言葉は、ラテン語で「小さな小石」 (「石」を意味する calx の小形) を意味し、この意味は医学で今も存続しています。小石は、距離を数えたり、票を数えたり、そろばんを使ったりしたことから、計算方法を意味するようになりました。この意味で、ライプニッツとニュートンの出版の数年前、少なくとも 1672 年には英語で使用されていました。

微分計算と積分計算に加えて、この用語は、数学の観点から特定の概念をモデル化しようとする特定の計算方法と関連する理論を命名するためにも使用されます。この規則の例には、命​​題計算、リッチ計算、変分計算、ラムダ計算、およびプロセス計算が含まれます。さらに、「微積分」という用語は、ベンサムのフェリシフィック微積分や倫理微積分などのシステムのために、倫理と哲学でさまざまに適用されてきました。

微積分のアイデアの多くは、ギリシャ、中国、インド、イラク、ペルシャ、および日本で以前に開発されていましたが、ニュートンとライプニッツが以前の数学者の研究に基づいて構築した17世紀にヨーロッパで微積分の使用が始まりました。その基本原則を紹介します。ハンガリーの博学者ジョン・フォン・ノイマンはこの作品について次のように書いています。

微積分は現代数学の最初の成果であり、その重要性を過大評価することは困難です。それは現代数学の始まりを何よりも明確に定義していると思います.数学的分析のシステムは、その論理的発展であり、今でも正確な思考における最大の技術的進歩を構成しています.

微分計算のアプリケーションには、速度と加速度、曲線の傾き、および最適化を含む計算が含まれます。: 341–453 積分計算のアプリケーションには、面積、体積、弧の長さ、重心、仕事、および圧力を含む計算が含まれます.: 685– 700 より高度なアプリケーションには、ベキ級数とフーリエ級数があります。

微積分は、空間、時間、および運動の性質をより正確に理解するためにも使用されます。何世紀にもわたって、数学者や哲学者は、ゼロによる除算や無数の数の和に関するパラドックスと格闘してきました。これらの問題は、運動と面積の研究で発生します。古代ギリシャの哲学者エレアのゼノは、そのようなパラドックスの有名な例をいくつか挙げています。微積分は、パラドックスを解決するツール、特に極限と無限級数を提供します。