Calculus Made Easy

Calculus, ursprünglich als Infinitesimalrechnung oder "Kalkül der Infinitesimalzahlen" bezeichnet, ist die mathematische Untersuchung der kontinuierlichen Veränderung, genauso wie die Geometrie die Untersuchung der Form und die Algebra die Untersuchung der Verallgemeinerungen arithmetischer Operationen ist.

Es hat zwei Hauptzweige, Differentialrechnung und Integralrechnung; Die Differentialrechnung betrifft momentane Änderungsraten und die Steigungen von Kurven, während die Integralrechnung die Akkumulation von Mengen und Flächen unter oder zwischen Kurven betrifft. Diese beiden Zweige sind durch den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung miteinander verbunden, und sie verwenden die grundlegenden Begriffe der Konvergenz von unendlichen Folgen und unendlichen Reihen zu einer wohldefinierten Grenze.

Die Infinitesimalrechnung wurde Ende des 17. Jahrhunderts unabhängig voneinander von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt. Spätere Arbeiten, einschließlich der Kodifizierung der Idee von Grenzen, stellten diese Entwicklungen auf eine solidere konzeptionelle Grundlage. Heute hat die Infinitesimalrechnung weit verbreitete Anwendungen in den Natur-, Ingenieur- und Sozialwissenschaften.

Im Mathematikunterricht bezeichnet Analysis Kurse der elementaren mathematischen Analyse, die sich hauptsächlich dem Studium von Funktionen und Grenzwerten widmen. Das Wort Kalkül ist lateinisch und bedeutet „kleiner Kiesel“ (die Verkleinerung von calx, was „Stein“ bedeutet), eine Bedeutung, die in der Medizin immer noch besteht. Da solche Kieselsteine ​​zum Zählen von Entfernungen, zum Auszählen von Stimmen und zum Abakusrechnen verwendet wurden, bedeutete das Wort eine Rechenmethode. In diesem Sinne wurde es mindestens schon 1672 auf Englisch verwendet, einige Jahre vor den Veröffentlichungen von Leibniz und Newton.

Neben der Differentialrechnung und der Integralrechnung wird der Begriff auch zur Benennung bestimmter Rechenverfahren und verwandter Theorien verwendet, die versuchen, ein bestimmtes Konzept mathematisch zu modellieren. Beispiele für diese Konvention sind Aussagenkalkül, Ricci-Kalkül, Variationskalkül, Lambda-Kalkül und Prozesskalkül. Darüber hinaus wurde der Begriff "Kalkül" in Ethik und Philosophie auf verschiedene Weise für Systeme wie Benthams Glückskalkül und den ethischen Kalkül verwendet.

Während viele der Ideen der Analysis früher in Griechenland, China, Indien, Irak, Persien und Japan entwickelt worden waren, begann die Verwendung der Analysis in Europa im 17. Jahrhundert, als Newton und Leibniz auf der Arbeit früherer Mathematiker aufbauten ihre Grundprinzipien vorstellen. Der ungarische Universalgelehrte John von Neumann schrieb über diese Arbeit:

Der Kalkül war die erste Errungenschaft der modernen Mathematik, und es ist schwer, seine Bedeutung zu überschätzen. Ich denke, es definiert eindeutiger als alles andere die Anfänge der modernen Mathematik, und das System der mathematischen Analyse, das ihre logische Entwicklung darstellt, stellt immer noch den größten technischen Fortschritt im exakten Denken dar.

Zu den Anwendungen der Differentialrechnung gehören Berechnungen mit Geschwindigkeit und Beschleunigung, der Steigung einer Kurve und Optimierung.: 341–453  Zu den Anwendungen der Integralrechnung gehören Berechnungen mit Fläche, Volumen, Bogenlänge, Schwerpunkt, Arbeit und Druck.: 685– 700  Fortgeschrittenere Anwendungen umfassen Potenzreihen und Fourierreihen.

Analysis wird auch verwendet, um ein genaueres Verständnis der Natur von Raum, Zeit und Bewegung zu erlangen. Mathematiker und Philosophen haben jahrhundertelang mit Paradoxien gerungen, bei denen es um die Division durch Null oder die Summe unendlich vieler Zahlen ging. Diese Fragen stellen sich bei der Untersuchung von Bewegung und Fläche. Der antike griechische Philosoph Zeno von Elea gab mehrere berühmte Beispiele für solche Paradoxien. Calculus bietet Werkzeuge, insbesondere den Grenzwert und die unendlichen Reihen, die die Paradoxien auflösen.